Eδώ προτείνονται πορείες διδασκαλίας σε διάφορες διδακτικές ενότητες μαθηματικών παρουσιάζοντας το κατάλληλο διδακτικό υλικό σε κάθε περίπτωση.
1. Μετατοπίσεις στην άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Οι μαθητές οδηγούνται στο εργαστήριο πληροφορικής χωρισμένοι σε ομάδες 2 ατόμων σε κάθε υπολογιστή. Ανοίγουν ένα αρχείο geogebra και συμπληρώνουν το έντυπο φύλλο εργασίας που τους έχει δοθεί. Στο τέλος επιλύουν το φύλλο αξιολόγησης για επικύρωση και αξιολόγηση της διδασκαλίας.
2. Πρόσημο τριωνύμου Α΄ Λυκείου
α. Οι μαθητές οδηγούνται στο εργαστήριο πληροφορικής χωρισμένοι σε ομάδες 2 ατόμων σε κάθε υπολογιστή. Ανοίγουν ένα αρχείο geogebra και συμπληρώνουν το φύλλο εργασίας. Πρόκειται για την επεξεργασία ενός σεναρίου διδασκαλίας μέσω Η/Υ για να ανακαλύψουν το πρόσημο ενός τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του x , όταν Δ > 0. Οι μαθητές καλούνται στη συνέχεια να επιβεβαιώσουν τα συμπεράσματα τους με ένα έτοιμο μικροπείραμα σε geogebra και να διερευνήσουν το πρόσημο του τριωνύμου όταν Δ = 0 και Δ < 0. Στο τέλος επιλύουν το φύλλο αξιολόγησης για επικύρωση και αξιολόγηση της διδασκαλίας.
β. Υπάρχει ακόμη μία πορεία διδασκαλίας στο πρόσημο τριωνύμου 2ου βαθμού στην Α΄ Λυκείου , 5 διδακτικών ωρών. Περιέχει επιπρόσθετα και ρεαλιστικό πρόβλημα που επιλύεται με μελέτη προσήμου τριωνύμου. Η διδακτική πρόταση περιγράφεται αναλυτικά στο παρακάτω αρχείο , το οποίο περιέχει και τα αντίστοιχα φύλλα εργασίας που απαιτούνται.
Διδακτική πρόταση 5 διδακτικών ωρών στο πρόσημο τριωνύμου.
3. Αλγεβρική και γραφική επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων και ανισώσεων Β΄ Λυκείου
Οι μαθητές καλούνται να επιλύσουν αλγεβρικά στην αρχή πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις τρίτου βαθμού. Στη συνέχεια με τη βοήθεια του Geogebra επιλύουν γραφικά τις παραπάνω εξισώσεις και ανισώσεις. Συσχετίζουν και επαληθεύουν τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων. Τέλος επιλύουν και εξισώσεις πολυωνυμικές με διπλή ρίζα και ανακαλύπτουν ότι στην περίπτωση αυτή η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης εφάπτεται στο σημείο με τετμημένη τη διπλή ρίζα. Με τη βοήθεια του Geogebra οι μαθητές είναι σε θέση να πειραματιστούν σε μια πληθώρα πολυωνύμων.
4. Γιατί οι δορυφορικές κεραίες τηλεόρασης έχουν παραβολικό σχήμα;
Εφαρμογή στην ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής.
Στους μαθητές θα έχει διαμοιραστεί ο σύνδεσμος της μικροεφαρμογής Geogebra από το προηγούμενο, ώστε να μπορέσουν να εργαστούν στο σπίτι στα πλαίσια της ανεστραμμένης τάξης. Ακόμη, έχουν κληθεί να μελετήσουν την παράγραφο §3.2 του σχολικού βιβλίου χωρίς τις αποδείξεις και τις εφαρμογές. Οι μαθητές θα εργαστούν ομαδοσυνεργατικά καθόλη τη διάρκεια της διδακτικής ώρας. Θα διαμοιραστεί φ/ε με 3 δραστηριότητες και αναλυτικές οδηγίες για την καθεμία. Αναλυτικά, η πρώτη δραστηριότητα αφορά την ανακλαστική ιδιότητα την οποία οι μαθητές ανακαλύπτουν ομαδοσυνεργατικά με την αξιοποίηση του λογισμικού Geogebra μέσω ενός αρχείου που έχει δημιουργήσει ο διδάσκων ως μικροπείραμα. Στην δεύτερη δραστηριότητα μελετούν διαθεματικά το φαινόμενο της ανάκλασης και ιδιαίτερα την ισότητα της γωνίας πρόσπτωσης και ανάκλασης μέσα από ένα σύντομο κείμενο φυσικής. Στόχος να τοσυνδέσουν με την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής. Η τελευταία δραστηριότητα αφορά τη μελέτη ενός αποσπάσματος μαθηματικής λογοτεχνίας από το βιβλίο: «Μιλώντας στην Άννα για τα μαθηματικά» του Τεύκρου Μιχαηλίδη που αφορά στην εφαρμογή της ανακλαστικής ιδιότητας της παραβολής στις δορυφορικές κεραίες τηλεόρασης («πιάτα»). Διαφαίνεται έτσι η χρησιμότητα των μαθηματικών στην καθημερινή ζωή και την σύγχρονη πραγματικότητα.
5. Πριν πόσα χρόνια έζησε ο δεινόσαυρος;
Η μέθοδος ραδιοάνθρακα στην χρονολόγηση ευρημάτων ένα παράδειγμα εκθετικής μείωσης.
Στην αρχή της διδασκαλίας ο διδάσκων θα επαναλάβει βασικές προαπαιτούμενες γνώσεις της εκθετικής συνάρτησης, της γραφικής παράστασης, της έννοιας του λογαρίθμου lnx και της επίλυσης εκθετικών εξισώσεων της μορφής e^kx = λ που επιλύονται με τη μέθοδο της λογαρίθμησης. Στην συνέχεια δίνεται στους μαθητές ένα φύλλο εργασίας. Περιέχει ένα επιστημονικό κείμενο με τίτλο: «Η μέθοδος τουραδιοάνθρακα στην χρονολόγηση αρχαιολογικών περιβαλλοντικών ευρημάτων» του Δρ. Γιάννη Μανιάτη Διευθυντή Ερευνών του Εργαστηρίου Αρχαιομετρίας. Μετά την κατανόηση και ανάλυση του κειμένου δίνεται επίσης ένα πρόβλημα – εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου στον υπολογισμό της ηλικίας ενός απολιθώματος δεινοσαύρου. Η πρώτη δραστηριότητα αφορά τον υπολογισμό της παραμέτρου Κ για τον άνθρακα-14 , από τον τύπο y= Ae^ Kx , όπου y η ποσότητα του άνθρακα που παραμένει ,x τα χρόνια που έχουν περάσει και Α η αρχική ποσότητα άνθρακα στον οργανισμό. Στην δεύτερη δραστηριότητα υπολογίζουμε την ηλικία του απολιθώματος δεινοσαύρου αξιοποιώντας το δεδομένο του προβλήματος ότι απέμεινε το 2/5 της αρχικής ποσότητας ραδιοάνθρακα. Η απάντηση αφορά την επίλυση της εκθετικής εξίσωσης :
2/5Α = Αe ^ Kx <=> e ^kx = 2/5. Στην τρίτη και τελευταία δραστηριότητα επιβεβαιώνουμε γραφικά το αποτέλεσμα της προηγούμενης δραστηριότητας μέσα από το Geogebra. H λύση της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί στην τετμημένη του σημείου τομής της συνάρτησης f(x) = e ^κx και της ευθείας y = 2/5. Οι μαθητές κατά την επεξεργασία των δύο πρώτων δραστηριοτήτων θα χρησιμοποιήσουν αριθμομηχανή για τον υπολογισμό τιμών του lnx και την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων.
6. Προσεγγίζοντας τον αριθμό e ως όριο ακολουθίας στη Β΄ Λυκείου
Ανακαλύπτουμε ότι το e είναι όριο της ακολουθίας (v + 1/v)^v . Η διδακαλία γίνεται σε τρεις άξονες. Αρχικά σε ένα αρχείο Power Point μελετούμε ιστορικά στοιχεία για τον αριθμό e. Βλέπουμε ότι ανακαλύφθηκε. από τον Jacob Bernoulli μελετώντας ένα πρόβλημα ανατοκισμού. Στην συνέχεια βλέπουμε τη μεγάλη συμβολή του Euler που δικαιολογεί ότι τελικά ο νέος αριθμός πήρε το όνομα του, "αριθμός του Euler". Ενδάμεσα παρατηρούμε και τον ρόλο του Napier μια και ο e είναι η βάση του νεπέριου λογαρίθμου. Τέλος παρακολουθούμε πως o e εξαπλώθηκε σε μια μεγάλη γκάμα εφαρμογών στα μαθηαμτικά. Στον δεύτερο άξονα μελετούμε μέσα από ένα αρχείο geogebra που περιέχει γραφική παράσταση και λογιστικό φύλλο κάτι που ο Bernoulli πρωτοανακάλυψε και ο Euler απέδειξε , ότι δηλαδή ο αριθμός e είναι το όριο της ακολουθίας που προείπαμε. Τέλος όλα αυτά μελατώνται και σε ένα φύλλο εργασίας με τη βοήθεια ενός αρχείου Excel
1. Iστορικά στοιχεία για τον e (Power Point)
7. Πρόσθεση ρητών αριθμών στην α΄ γυμνασίου
Η διδασκαλία χρησιμοποιεί στην πρώτη δραστηριότητα ένα αρχείο Geogebra για την ανακάλυψη της πρόσθεσης ρητών αριθμών μέσα από την κίνηση που κάνει ένα αυτοκινητάκι. Η φορά κίνησής του γίνεται προς τα δεξιά όταν προσθέτουμε θετικό αριθμό και προς τα αριστερά όταν προσθέτουμε αρνητικό αριθμό. Η δεύτερη δραστηριότητα αφορά εκτέλεση πράξεων για τον υπολογισμό ενός αθροίσματος με πολλούς προσθετέους. Η τρίτη τέλος δραστηριότητα ασχολείται με την επίλυση ενός απλού ρεαλιστικού προβλήματος που είναι κοντά στην εμπειρία των μαθητών.