Πραγματοποίησα Δειγματική Διδασκαλία του διδακτικού σεναρίου με χρήση τεχνολογικών εργαλείων: «Στην χώρα των πολυωνύμων» στην Άλγεβρα Β΄Λυκείου. Πραγματοποιήθηκε στην αίθουσα πληροφορικής του Γυμνασίου – Λ.Τ Σημάντρων με την χρήση του λογισμικού ψηφιακών αναπαραστάσεων Function Probe σε συνεργασία με τον επιμορφωτή β΄ επιπέδου κ. Πετάφρατζη Κωνσταντίνο και την παρακολούθησαν 10 συνάδελφοι μαθηματικοί του νομού Χαλκιδικής.
Το μάθημα έγινε στο εργαστήριο πληροφορικής με τη χρήση του λογισμικού Function Probe και την επίδοση φύλλου εργασίας.
• ∆ίνουμε το πολυώνυμο Ρ(χ)= 2x^2 -x - 1 Στον πίνακα του λογισμικού Function
Probe θέτουμε τις μεταβλητές χ και y = 2x^2-x-1.Ζητάμε από τους μαθητές να τοποθετήσουν στην στήλη της μεταβλητής χ τις τιμές : -3 , -1 , 0 , 2 , 4 .Το πρόγραμμα αυτόματα εμφανίζει τις αντίστοιχες τιμές του y στην διπλανή στήλη. Αποτελούν ουσιαστικά τις αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου P(x) . Ο πίνακας έχει πλέον την παρακάτω μορφή :
χ y
-3 20
-2 9
0 -1
2 5
4 27
• Στην συνέχεια αναζητούν μεταξύ ποιων τιμών του y που εμφανίστηκαν περιέχεται ο αριθμός μηδέν. Από τον πίνακα φαίνεται ότι μεταξύ των τιμών τουy : 9 και -1 περιέχεται το μηδέν και ότι αυτό συμβαίνει και μεταξύ των τιμών -1 και 5. Εικάζουν λοιπόν ότι οι τιμές του χ που μηδενίζουν το y βρίσκονται κάπου μεταξύ των διαστημάτων (-2,0) και (0,2).Μαρκάροντας τα κελιά αυτά των τιμών του χ δημιουργούμε ενδιάμεσο γέμισμα με βήμα 0.5. Από τον πίνακα τότε φαίνεται ότι οι τιμές του χ : -0.5 και 1 που ανήκουν στα προαναφερόμενα διαστήματα δίνουν τιμή για το y μηδέν και αποτελούν τις ρίζες του πολυωνύμου. Με τον τρόπο αυτό έχουμε μια αλγεβρική αναζήτηση των ριζών πολυωνύμου αξιοποιώντας τη δυνατότητα του λογισμικού να υπολογίζει πολλαπλές αριθμητικές τιμές πολυωνύμου για μια πληθώρα τιμών του χ άμεσα.
• Μετά ελέγχουμε τις ρίζες που βρήκαμε με τον παραπάνω τρόπο με τη μέθοδο επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ο έλεγχος γίνεται συγκρίνοντας το αποτέλεσμα με το φύλλο εργασίας της προηγούμενης διδακτικής ώρας γιατί εκεί δώσαμε ως άσκηση την επίλυση της ίδιας εξίσωσης (όπως αναφέραμε πρωτύτερα).
• Ήρθε η ώρα να επεκτείνουμε την έννοια των ριζών με γραφική προσέγγιση. Από τον πίνακα τιμών του προγράμματος μπορούμε να προβληματίζουμε τους μαθητές να δουν ότι κάθε πολυώνυμο ορίζει μια πολυωνυμική συνάρτηση που για κάθε χ αντιστοιχεί την αριθμητική του τιμή. Με τη Αποστολή :Σημεία σε γράφημα στέλνουμε στο Γράφημα του προγράμματος τα σημεία με συντεταγμένες (χ,Ρ(χ)). Ορίζοντας ως όρια κλίμακας για το x : -3 έως 4 και για τον y : -2 έως 30 παρατηρούμε ότι οι ρίζες του πολυωνύμου αποτυπώνονται ως οι τετμημένες των σημείων που ανήκουν στον άξονα χχ ́. Έτσι έχουμε την πρώτη σύνδεση των ριζών με τα σημεία του χχ ́.
• Τελικά στο γράφημα πληκτρολογούμε τον τύπο της πολυωνυμικής συνάρτησης y= 2x^2-x-1 και εμφανίζουμε την γραφική της παράσταση. ∆ιαφαίνεται πιο καθαρά ότι οι ρίζες του πολυωνύμου αποτελούν τις τετμημένες των σημείων που η γραφική παράσταση της αντίστοιχης πολυωνυμικής συνάρτησης τέμνει τον άξονα χχ ́.
• Ως εμβάθυνση μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία με το πολυώνυμο :
Ρ(x)= x^3 - x^2 +3x - 3 με το οποίο επίσης ασχοληθήκαμε στο φύλλο εργασίας της προηγούμενης διδακτικής ώρας. Επίσης μπορούμε να επεκτείνουμε την γραφική προσέγγιση για μη πολυωνυμικές εξισώσεις.
• Τέλος δίνουμε την εξίσωση : x^3 - 3x + 1 = 0 οποία υπάρχει ως εφαρμογή στο σχολικό βιβλίο. Εμφανίζουμε στον πίνακα του Function Probe τις μεταβλητές χ και y =x^3-3*x+1 και δίνουμε στο χ τις τιμές : 1 και2. Παρατηρούμε ότι οι αντίστοιχες τιμές του y είναι -1 και 3 και ως ετερόσημες περιέχουν το μηδέν. Άρα μία ρίζα βρίσκεται στο διάστημα (1,2). Μαρκάροντας τα κελιά δημιουργούμε ενδιάμεσο γέμισμα κατά 0,1. Τότε φαίνεται ότι στο διάστημα (1,5 , 1,6) υπάρχουν ετερόσημες τιμές για το y και άρα εκεί βρίσκεται η ρίζα. Επαναλαμβάνουμε το ενδιάμεσο γέμισμα τουδιαστήματος 1,5 – 1,6 με βήμα 0.01. ∆ιαπιστώνουμε ότι ετερόσημες τιμές παίρνουν τα Ρ(1,53) και Ρ(1,54). Έτσι υπολογίζουμε μία ρίζα με προσέγγιση δεκάτου ρ ≈ 1,5. Ουσιαστικά ακολουθήσαμε την πορεία λύσης που περιγράφεται στην εφαρμογή του σχολικού βιβλίου αξιοποιώντας την δυνατότητα του λογισμικού για ενδιάμεσο γέμισμα και άρα εμφάνιση των ενδιάμεσων τιμών με καθορισμένο βήμα. Μπορούμε στη συνέχεια να δώσουμε ως επέκταση στους μαθητές την αναζήτηση της ρίζας με προσέγγιση εκατοστού ή χιλιοστού.
Aναλυτικά το σενάριο διδασκαλίας που παρουσιάστηκε στην δειγματική διδασκαλία με τα αντίστοιχα φύλλα εργασίας θα βρείτε στον παρακάτω σύνδεσμο:
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ : "ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΤΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ"
Το σενάριο αυτό παρουσιάστηκε επίσης στο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο : "Η Εκπαίδευση στην εποχή των ΤΠΕ" του "Νέου Παιδαγωγού" στο Ίδρυμα Ευγενίδου στην Αθήνα στις 7 - 8 Νοεμβρίου 2015.