Εδώ παρουσιάζονται ενδεικτικά μερικά στιγμιότυπα από την χρήση του Η/Υ στην διδασκαλία των μαθηματικών.
1. ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
Πρόκειται για μελέτη της συνέχειας μια συνάρτησης και παρουσίασης της γεωμετρικής ερμηνείας των θεωρημάτων Bolzano και ενδιάμεσων τιμών. Αφορά στην ανάλυση της Γ΄ Λυκείου και πραγματοποιήθηκε στην σχολική αίθουσα διδασκαλίας με χρήση βιντεοπροβολέα.
- Αρχικά με το αρχείο "Όριο συνάρτησης" μελετήσαμε το όριο από αριστερά κι από δεξιά στο χ0 για μια συνάρτηση. Με κίνηση παρατηρούμε που τείνουν οι τιμές της f(x) όταν το χ πλησιάζει από αριστερά και μετά από δεξιά στο χ0. Είδαμε ότι όταν τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά , δεν υπάρχει το όριο της f(x) και η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο χ0 , κάτι που φαίνεται από την ασυνέχεια της γραφικής παράστασης.
- Στη συνέχεια μελετήσαμε γεωμετρικά το θεώρημα Bolzano και παρατηρήσαμε ότι αν η f έχει σταθερή μονοτονία η ρίζα της είναι μοναδική.
- Τέλος μελετήσαμε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών.
2. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
Πρόκειται για παρουσίαση της γεωμετρικής ερμηνείας του θεωρήματος Rolle , και της μέσης τιμής στην ανάλυση Γ΄ Λυκείου. Πραγματοποιήθηκε στην σχολική αίθουσα διδασκαλίας.
- Αρχικά μελετήσαμε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle. Συνεχίσαμε με δραστηριότητες στο θεώρημα Rolle ώστε να δούμε ότι οι ρίζες της πρώτης παραγώγου που εξασφαλίζει το θεώρημα Rolle σχετίζονται με πιθανές θέσεις ακροτάτων στις οποίες μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος και έχουμε οριζόντια εφαπτομένη. Τέλος παρουσιάστηκε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα με τίτλο "Σκι στο βουνό".
1. https://www.geogebra.org/m/KjmgaTGM#material/tYewVbje
2. https://www.geogebra.org/m/KjmgaTGM#material/UpyKeNgj
3. https://www.geogebra.org/m/KjmgaTGM#material/KhVqeArf
4. https://www.geogebra.org/m/KjmgaTGM#material/efR6wfRt
3. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Η διδασκαλία πραγματοποιήθηκε στην Γ΄ Λυκείου , στον προσανατολισμό των ανθρωπιστικών σπουδών στο μάθημα : "Στοιχεία πιθανοτήτων και στατιστικής". Χρησιμοποιήθηκε βιντεοπροβολέας στην αίθουσα διδασκαλίας και 4 αρχεία Geogebra. Συγκεκριμένα τα : "Πράξεις ενδεχομένων με διάγραμμα Venn" , "Δειγματικός χώρος με μπάλες" , "Ρίψη τριών νομισμάτων" και "Πιθανότητα με διακοπές". Αφορούσε στην διδασκαλία των δύο πρώτων παραγράφων των πιθανοτήτων. Συμπεριλάμβανε δραστηριότητες και στιγμιότυπα για την κατανόηση:
- της εύρεσης του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης
- τις πράξεις των ενδεχομένων και την παράσταση τους σε διάγραμμα Venn
- την εύρεση πιθανότητας ενδεχομένου
4. IΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Πρόκειται για παρουσίαση των κριτηρίων ισότητας τριγώνων με βιντεοπροβολέα χρησιμοποιώντας αρχεία Geogebra. H παρουσίαση έγινε μέσα στην σχολική αίθουσα διδασκαλίας. Αρχικά παρουσιάστηκαν δύο τρίγωνα με ίσες πλευρές και μ΄ ένα δρομέα επιτρέψαμε την μετακίνηση του ενός τριγώνου μέχρι να συμπέσει ακριβώς πάνω στο άλλο. Μεταβάλαμε τα μήκη των πλευρών των τριγώνων διατηρώντας πάντα την μία προς μία ισότητα των πλευρών τους και με την μετακίνηση του δρομέα επιβεβαιώσαμε ότι τα τρίγωνα ήταν κάθε φορά ίσα. Εκτελέσαμε παρόμοιες δραστηριότητες με δύο ακόμη αρχεία Geogebra. Στο ένα τα δυο τρίγωνα είχαν ίσες τις δύο πλευρές τους μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση. Στο άλλο είχαν μία πλευρά ίση και τις δύο προσκείμενες γωνίες τους μία προς μία ίσες. Σε κάθε περίπτωση με την μετακίνηση του δρομέα τα τρίγωνα συνέπιπταν. Κάτι που σημαίνει ότι είναι ίσα. Επιβεβαιώναμε το συμπέρασμα για διαφορετικές τιμές των κύριων στοιχείων , αλλάζοντας τη μορφή των τριγώνων. Συζητήθηκε τι συμβαίνει με τα υπόλοιπα στοιχεία των τριγώνων που δεν αναγράφονταν ως ίσα στην εφαρμογή. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κριτήρια αφορούν τον ελάχιστο απαιτούμενο αριθμό ίσων κύριων στοιχείων για να είναι ίσα τα τρίγωνα.
1. https://www.geogebra.org/m/S6xCG38T#material/gXXVSdX4
2. https://www.geogebra.org/m/S6xCG38T#material/d84sCWcx
5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΓΩΝΙΑΣ
Αφορά στην εισαγωγή της τριγωνομετρίας στην γ΄ γυμνασίου. Υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας χρησιμοποιώντας ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Μελετήσαμε τους τριγωνομετρικούς αυτούς αριθμούς μεταβάλλοντας με δρομέα τη θέση ενός σημείου Μ , επιτρέποντας το να κινείται στα διάφορα τεταρτημόρια. Διερευνήσαμε το πρόσημο τους , ανά τεταρτημόριο και υπολογίσαμε το ημίτονο , το συνημίτονο και την εφαπτομένη των 0 , 90 , 180 , 270 , 360 μοιρών.
6. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Εισαγωγικά: Πρόκειται για διδασκαλία που πραγματοποιήθηκε στο εργαστήριο πληροφορικής στα πλαίσια της άλγεβρας Β΄ Λυκείου. Αφορούσε στην μονοτονία , ακρότατα και την άρτια και περιττή συνάρτηση.
Πορεία διδασκαλίας:
- Αρχικά προβλήθηκε ένα αρχείο Geogebra με τίτλο "Μονοτονία συνάρτησης, Με την μετακίνηση του σημείου Α πάνω στην γραφική παράσταση της παραβολής διαπιστώθηκε η ανοδική και καθοδική πορεία της κι άρα τα διαστήματα μονοτονίας της. Προσομοιώθηκε η κίνηση του Α με την κίνηση ενός ιστιοφόρου. Η διαδικασία στόχευε επίσης να βρίσκουν οι μαθητές τα διαστήματα μονοτονίας παρατηρώντας την κίνηση του σημείου Γ πάνω στον άξονα xx΄. η διαδικασία επαναλήφθηκε με το αρχείο "Ποδηλάτης".
2. https://www.geogebra.org/m/bS7MyNz4#material/P5S4jqpV
- Στην συνέχεια προβλήθηκε ένα αρχείο με τίτλο "Μέγιστο ελάχιστο συνάρτησης". Περιείχε 4 δραστηριότητες που έδιναν την δυνατότητα στους μαθητές να εντοπίζουν τα ακρότατα μιας συνάρτησης - εφόσον υπήρχαν - καθώς και τη θέση ή τις θέσεις του x για τις οποίες τα εκλαμβάνουν. Δινόταν χρόνος στους μαθητές να σκεφτούν , να λύσουν και να απαντήσουν.
- Αρχικά παρουσιάστηκε η άρτια με τονισμό στον ορισμό , στην γραφική επαλήθευση και την εμφάνιση του άξονα συμμετρίας της γραφικής παράστασης τους. Συγκεκριμένα δόθηκε ο ορισμός της άρτιας συνάρτησης. Στη συνέχεια ακολούθησε η γραφική επαλήθευση. Μετακινώντας ένα σημείο πάνω στη γραφική παράσταση της παραβολής f(x) = x^2 , παρατηρούσαμε ότι το συμμετρικό του ως προς τον άξονα xx΄ το Α΄ κινούνταν στον άλλο κλάδο της παραβολής. Τα σημεία Α και Α΄ είχαν αντίθετες τετμημένες και ίσες τεταγμένες. Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι
- Ακολουθήθηκε η ίδια πορεία με το αρχείο "Περιττή συνάρτηση". Δόθηκε δηλαδή ο ορισμός της περιττής συνάρτησης και επιτρέψαμε την κίνηση ενός σημείου Α πάνω στην γραφική παράσταση της f(x) = x^3. Ταυτόχρονα κινούνταν το συμμετρικό Α΄ του Α ως προς την αρχή των αξόνων Ο και παρατηρήσαμε ότιΑ
- πως υπολογίζουμε το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας
- πως μελετούμε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το σημείο Μ.
- πως χαράζουμε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων του ημιτόνου και συνημιτόνου.Ο σχεδιασμός γίνεται με σχεδίαση των ιχνών των σημείων Δ(x, ημx) και Ε(x ,συνx)
9. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ : ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
Μάθημα 1 : Γραμμική εξίσωση - γ γυμνασίου
α. Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος
β. Ποια χαρακτηριστική ιδιότητα έχουν τα σημεία της μεσοκαθέτου
γ. πως γίνεται η κατασκευή της μεσοκαθέτου δοθέντος ευθύγραμμου τμήματος με κανόνα και διαβήτη.
- Στην συνέχεια επιλέχτηκε το αρχείο Geogebra : "Ο γ.τ της μεσοκαθέτου". Η μεθοδολογία της δραστηριότητας ήταν να ανακαλύψουν οι μαθητές τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Για το σκοπό αυτό υπήρχε σχεδιασμένο ένα εύγραμμο τμήμα και δύο σημεία Γ, Δ στα δύο διαφορετικά ημιεπίπεδα που χωρίζει το τμήμα το επίπεδο του πίνακα.Τα σημεία Γ , Δ ισαπείχαν από τα Α, Β. Πατώντας το κουμπί "έναρξη" , τα σημεία Γ, Δ κινούνταν έτσι ώστε σε κάθε θέση τους να ισαπέχουν από τα άκρα Α, Β. Σε κάθε νέα θέση τους αποτυπωνόταν το ίχνος τους. Οι μαθητές κατανόησαν ότι αν αναζητήσουμε όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος αυτά ανήκουν στην μεσοκάθετο του , την οποία αποτυπώνουν τα Γ, Δ κατά την κίνηση τους.
- Τέλος χρησιμοποιήθηκε το αρχείο Geogebra με τίτλο : "Το λεωφορείο". Πρόκειται για την διαδραστική επίλυση ενός ρεαλιστικού προβλήματος ως εφαρμογή της ιδιότητας των σημείων της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος. Αναζητούσαμε τη θέση κατασκευής μιας στάσης ενός λεωφορείου των ΚΤΕΛ ώστε να ισαπέχει από τα σπίτια Α, Β δύο παιδιών. Η κατασκευή αυτή οδηγεί σε μια "δικαιοσύνη" ώστε τα παιδιά να διανύουν ίση απόσταση κάθε φορά που μετακινούνται από το σπίτι τους στη στάση ή αντίστροφα. Το πρόβλημα απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα:
Το συμπέρασμα της δραστηριότητας ήταν ότι η τελική επιλεγμένη θέση κατασκευής της στάσης του λεωφορείου είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με τον δρόμο κίνησης του λεωφορείου. Το geogebra παρείχε και προσομοίωση της κίνησης του λεωφορείου με κατάληξη την τελική θέση της στάσης πατώντας το κουμπί "Προσομοίωση".
- Η πρώτη δραστηριότητα αφορούσε την κατανόηση της παραβολής ως τον γ.τ των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο και από μία ευθεία.
- Στην 2η δραστηριότητα μελετήσαμε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα με τον προσδιορισμό της πιθανής θέσης κατασκευής μιας κατασκήνωσης. Η κατασκήνωση έπρεπε να ισαπέχει από το σημείο Π ( πρόποδες ενός βουνού) και από μια ευθεία ε ( το ποτάμι). Οι πιθανές θέσεις μετά από διαπραγμάτευση με τη βοήθεια του διδάσκοντα προτάθηκαν αν είναι τα σημεία της παραβολής με εστία το Π και διευθετούσα την ευθεία ε.
- Στη συνέχεια παρακολουθήσαμε τον σχεδιασμό της έλλειψης μέσα από το γνωστό πείραμα με τα δυο καρφιά , το τεντωμένο λαστιχάκι και το μολύβι.
ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΔΕΙΚΤΗ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΥ ΒΑΡΟΥΣ