- Η εργασία στοχεύει στην τροποποίηση συγκεκριμένου διδακτικού εμποδίου που παρατηρείται στο 3ο κεφάλαιο άλγεβρας της β ́γυμνασίου .Συγκεκριμένα οι μαθητές οδηγούνται στο εσφαλμένο συμπέρασμα ότι αν ένα μέγεθος αυξάνεται με την αύξηση ενός άλλου πρόκειται για ανάλογα μεγέθη. Παρόμοια αν ένα ποσό μειώνεται με την αύξηση του άλλου τα ποσά είναι αυτόματα αντιστρόφως ανάλογα. Για τη διόρθωση αυτού του εμποδίου προτείνονται δύο πορείες διδασκαλίας :
α. Η εισαγωγή της μονοτονίας μιας συνάρτησης στο γυμνάσιο. Ο ορισμός αυτός μπορεί να γίνει εμπειρικά και εποπτικά. Σκοπός αυτών των παρουσιάσεων είναι να δούμε ότι η αυξητική τάση ενός μεγέθους δεν ταυτίζεται με την αναλογικότητα αλλά με την μονοτονία (αύξουσα αλληλεξάρτηση). Αντίστοιχα η μειωτική τάση δεν ισοδυναμεί με την αντίστροφη αναλογικότητα αλλά με την φθίνουσα αλληλεξάρτηση.
ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑβ. Η αναζήτηση ειδικών κανόνων , σταθερών ποσοτήτων και γραφικών παραστάσεων που εμφανίζονται σε αλληλεξαρτήσεις αύξουσες ή φθίνουσες αλλά μη αναλογικές ούτε αντίστροφα αναλογικές.
(Παρουσιάστηκε στην Μαθηματική Εβδομάδα της Ε.Μ,Ε στις 5 Μαρτίου 2011 και στην Ημερίδα της Σχολικής Συμβούλου Μαθηματικών κ. Σταφυλίδου Σταματίας στις 21 Ιουνίου 2011)
- Στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε φύλλα εργασίας για την εφαρμογή της διδακτικής πρότασης στην β γυμνασίου. Στόχος της να καταδείξει ότι η αυξητική τάση ενός μεγέθους με την αύξηση ενός άλλου δεν ταυτίζεται με την αναλογικότητα. Επίσης η μειωτική τάση δεν ταυτίζεται με την αντιστρόφως αναλογικότητα. Τελικός στόχος η διόρθωση του διδακτικού εμποδίου που εμφανίζεται σε πολλούς μαθητές και η εξάλειψη παρανοήσεων.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
2. Η διδασκαλία των μαθηματικών προβλημάτων στις εξισώσεις
Έχει διαπιστωθεί ότι η διδασκαλία μαθηματικών προβλημάτων είναι από τα δυσκολότερα σημεία στην διδακτική των μαθηματικών. Συναντάται δυσκολία στους μαθητές να μοντελοποιήσουν το πρόβλημα με μαθηματικούς όρους ( να το μαθηματικοποιήσουν). Στην εργασία ασχολούμαστε με προβλήματα που επιλύονται με εξισώσεις πρώτου βαθμού κι αποτελούν διδακτική ύλη της β ́ γυμνασίου. Αρχικά προτείνονται μέθοδοι και διδακτικές παρεμβάσεις για την καλύτερη επεξεργασία ενός μαθηματικού προβλήματος. Τελικά καταλήγουμε να προτείνουμε συγκεκριμένη μορφή φύλλων εργασίας προς διαπραγμάτευση τέτοιων προβλημάτων στην τάξη. Τα φύλλα εργασίας αυτά αποτελούνται από τα μέρη : Δεδομένα και ζητούμενα προβλήματος – Ερωτήσεις κατανόησης – Έλεγχος με δοκιμές – Βήματα επίλυσης προβλήματος – Επαλήθευση.
- Η παρακάτω εργασία παρουσιάστηκε στην Μαθηματική Εβδομάδα της Ε.Μ.Ε στις 3 Απριλίου 2016:
- Μια διδακτική πρόταση αποτελεί η διδασκαλία των μαθηματικών προβλημάτων με εξισώσεις στη β΄ γυμνασίου με φύλλα εργασίας.
3. Σχέδιο μαθήματος στην επίλυση προβλήματος με εξισώσεις στην α΄ γυμνασίου
Το παρακάτω σχέδιο μαθήματος παρουσιάστηκε στην ημερίδα της Σχολικής Συμβούλου κ. Σταφυλίδου Σταματίας με τίτλο : "Καλές πρακτικές στα μαθηματικά". Αφορά στη διδασκαλία ενός μαθηματικού προβλήματος με εξισώσεις στην α΄ γυμνασίου. Χρησιμοποιεί φύλλο εργασίας και προβολή αρχείου Power Point. Ως σκοποί της διδασκαλίας ορίστηκαν οι εξής:
- Να φανεί ότι μια εξίσωση στα μαθηματικά είναι η μετάφραση σε μαθηματική γλώσσα μιας βοηθητικής ισότητας κοινής λογικής και εμπειρικής πραγματικότητας.
- Να χρησιμοποιήσει αναπαραστάσεις με εικόνες χαρτονομισμάτων που έχουν βοηθητικό - οργανωτικό χαρακτήρα κι όχι απλά πληροφοριακό. Με τις αναπαραστάσεις αυτές και τον διαρκή μετασχηματισμό τους κατανοείται ο σχηματισμός της εξίσωσης αλλά και τα επιμέρους βήματα επίλυσης της.
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
4. Πρόσημο τριωνύμου με Excel και Graphmatica ή Geogebra
Χρήσιµο είναι το Excel και στην πιστοποίηση του προσήµου του τριωνύµου στις διάφορες περιπτώσεις της διακρίνουσας µια και µπορεί να κάνει σύντοµους υπολογισµούς του για πολλές τιµές του x. Στο Εxcel µπορούµε κατασκευάσουμε πίνακα τιμών του τριωνύμου. Στην πρώτη γραμμή να τοποθετήσουμε πληθώρα τιμών του χ και στην δεύτερη γραμμή τις αντίστοιχες τιμές του τριωνύμου. Εύκολα μπορούμε να διαπιτώσουμε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου στα διαστήματα εντός κι εκτός των ριζών του. Το πλεονέκτημα του Excel είναι ότι έχουμε τη δυνατότητα να τοποθετήσουμε πολλές τιμές στο χ και να βρούμε σύντομα τις τιμές του τριωνύμου χωρίς χρονοβόρες πράξεις. Με επανάληψη των υπολογισμών επιβεβαιώνουμε τα συμπεράσματα μας. Μπορούμε τέλος να συνδυάσουµε τον πίνακα τιµών για την επιβεβαίωση του προσήµου ενός τριωνύµου µε την επικόλληση γραφικής παράστασης της παραβολής. Η γραφική παράσταση είτε γίνεται στο ίδιο πρόγραµµα ( Excel) είτε επικολλείται από το Sketchpad ή Graphmatica ή Geogebra και αποτελεί εποπτική επαλήθευση του προσήµου. Αναλυτικά στοιχεία στον παρακάτω σύνδεσμο: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
5. Τετράγωνο αθροίσματος - Επιμεριστική ιδιότητα
Η διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών είναι καλό να εμπλουτίζεται με δραστηριότητες με "πολλαπλές μονάδες εισόδου" για να ικανοποιούν διδακτικά τα διαφορετικά είδη νοημοσύνης των μαθητών. Οι δύο προτάσεις που περιγράφουμε εδώ χρησιμοποιούν ταυτόχρονα φύλλο εργασίας και αρχείο Power Point και περιλαμβάνουν δραστηριότητες με:
- γεωμετρικό μοντέλο
- ρεαλιστικό πρόβλημα
- επικύρωση με τιμές στο Excell
6. Προσχηματική μυθοπλασία στην πρόσθεση ρητών αριθμών
Πολλές φορές είναι καλό να ντύσουμε ένα πρόβλημα με μια μυθοπλασία ώστε να καταστήσουμε το πρόβλημα πιο ελκυστικό κι ενδιαφέρον για τον μαθητή. Έτσι έρχεται κοντά στη πραγματικότητα και αποκτά λογοτεχνικό ύφος και φαντασία ενίοτε και παραμυθένια περιβολή. Αυτό το φέρνει πιο κοντά στον συναισθηματικό κόσμο του παιδιού κι έτσι ελκύει την προσοχή του.
Εδώ περιγράφουμε μια τέτοια περίπτωση μυθοπλασίας που χρησιμοποιείται προσχηματικά στην κατανόηση των κανόνων πράξεων των ρητών αριθμών στο 7ο κεφάλαιο άλγεβρας της α΄ γυμνασίου. Πρόκειται για τον την γνωστής σπαζοκεφαλιά ενός βατράχου που βρίσκεται εγκλωβισμένος σε ένα πηγάδι και τη μέρα καταφέρνει να ανεβεί κάποια απόσταση αλλά τη νύχτα που αποκοιμιέται γλιστράει μερικά μέτρα προς τα κάτω. Συνδυάζεται και με το παραμύθι του πρίγκιπα που μεταμορφώθηκε από μια κακιά μάγισσα σε βάτραχο. Έπρεπε λοιπόν το συντομότερο να ανεβεί το πηγάδι ώστε να το φιλήσει η πριγκίπισσα ώστε να λυθούν τα μάγια! Η μυθοπλασία αυτή με διαφορετικά σενάρια μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις πράξεις των ρητών. Στα παρακάτω αποσπάσματα φύλλων εργασίας περιέχονται δραστηριότητες στηριγμένες σε αυτό το σενάριο προσχηματικής μυθοπλασίας του βατράχου που προσπαθεί να ανεβεί το πηγάδι. Η πρώτη σελίδα αφορά στην πρόσθεση ρητών . οι δύο επόμενες στην αφαίρεση και η τέταρτη στον πολλαπλασιασμό.
Ο ΒΑΤΡΑΧΟΣ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙ ΝΑ ΑΝΕΒΕΙ ΤΟ ΠΗΓΑΔΙ
7 Δραστηριότητες στην περιγραφική κατασκευή του κύκλου
Οι σύγχρονες θεωρίες μάθησης στηρίζονται στο λεγόμενο κατασκευαστικό μοντέλο διδασκαλίας σε αντίθεση με το παραδοσιακό μεταδοτικό μοντέλο. Τονίζουν δηλαδή την ανάγκη της κατασκευής της νέας γνώσης από το μαθητή κι όχι την μετάδοση της από την αυθεντία του καθηγητή. Αυτός ο διδακτικός κονστρουκτιβισμός βοηθά το μαθητή να χτίσει ενεργητικά τη νέα γνώση κατά τέτοιο τρόπο ώστε να του επιβληθεί όσο το δυνατό λιγότερο. Θα δούμε πως θα μπορούσαμε να διδάξουμε την έννοια του κύκλου με κατασκευαστικό τρόπο. Έρευνες έδειξαν ότι οι απαντήσεις ποικίλουν με πιο συνηθισμένες τις παρακάτω:
1. Κύκλος είναι ένα στρόγγυλο πράγμα.
2. Κύκλος είναι ένα σχήμα χωρίς γωνίες
κι άλλες παρεμφερείς. Θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε σ ́ αυτούς τους ορισμούς τα εξής:
α. Πρόκειται για ορισμούς χωρίς μαθηματική αυστηρότητα.
β. Στηρίζονται σε εμπειρικές υποκειμενικές νοητικές αντιλήψεις των μαθητών.
γ. Μένουν στο οπτικό επίπεδο αντίληψης ενός γεωμετρικού σχήματος όπως παρατηρεί ο Van- Hiele. ∆ιατυπώνουν δηλαδή με υποκειμενικές κρίσεις το σχήμα που οπτικά έχουν φωτογραφίσει στη μνήμη τους ως κύκλο. Αγνοούν το περιγραφικό επίπεδο επίσης κατά τον Van-Hiele .Το επίπεδο αντίληψης δηλαδή που δεν στηρίζεται σε οπτικές αναφορές αλλά στην περιγραφή των ιδιοτήτων που χαρακτηρίζουν τα σημεία του. Σύμφωνα με αυτό ο κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν συγκεκριμένη ιδιότητα : “ να ισαπέχουν από δοθέν σταθερό σημείο ( κέντρο) ”.
- Οι δραστηριότητες που προτείνονται στην παρακάτω εργασία και πλαισιώνονται με φύλλο εργασίας έχουν κατασκευστικό και πειραματικό χαρακτήρα.
- Στον παρακάτω σύνδεσμο θα βρείτε στοιχεία για τις πολλαπλές αναπαραστάσεις και τη μετάφραση από μία στην άλλη στα μαθηματικά και το φύλλο εργασίας στη συνάρτηση.
9. Ρεαλιστικά προβλήματα στις κωνικές τομές
Πρόκειται για προβλήματα από την πραγματικότητα με σκοπό να εισάγουν τον κύκλο , την παραβολή ,την έλλειψη και την υπερβολή. Είναι δικής μου έμπνευσης και βοηθούν στην κατανόηση της χαρακτηριστικής ιδιότητας που χαρακτηρίζει την κάθε κωνική τιμή χωριστά. Πλαισιώνονται με εφαρμογή τους σε λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας (Sketchpad και Geogebra) Τα προβλήματα αυτά είναι τα εξής:
Πρόβλημα 1 : Το πρόβλημα του πολυκαταστήματος στον κύκλο.
Μια πολυεθνική εταιρεία πρόκειται να κατασκευάσει ένα πολυκατάστημα γύρω από την Θεσσαλονίκη. Θέλει όμως η απόσταση από την πόλη να είναι 2Km . Σε ποιες πιθανές θέσεις μπορεί να γίνει η κατασκευή του πολυκαταστήματος;
Πρόβλημα 2 : Πρόβλημα της κατασκήνωσης στην παραβολή.
Μια εταιρεία θέλει να κατασκευάσει κατασκήνωση σε μια τέτοια θέση ώστε να απέχει το ίδιο από τους πρόποδες του βουνού και από την όχθη του ποταμού. Κι αυτό για να μπορεί να διοργανώνει πεζοπορίες προς το βουνό ή προς το ποτάμι που να έχουν την ίδια καθορισμένη απόσταση.
Πρόβλημα 3 : Το πρόβλημα του πολυκαταστήματος στην έλλειψη.
Δύο γειτονικές πόλεις Α, Β απέχουν μεταξύ τους 25Κm. Μια πολυεθνική εταιρεία σκέφτεται να ανοίξει πολυκατάστημα στη γύρω περιοχή σε μια θέση Γ. Θέλει όμως η απόσταση ΑΓΒ να είναι μόλις 27Κm ώστε αν κάποιος ξεκινήσει από την μια πόλη προς την άλλη μέσω του ενδιάμεσου προορισμού το πολυκατάστημα να μην διανύσει πολλά περισσότερα Km από την απευθείας διαδρομή ΑΒ. Σε ποιες πιθανές θέσεις μπορεί να γίνει η κατασκευή;
Πρόβλημα 4 : Το πρόβλημα του πολυκαταστήματος στην υπερβολή.
Δύο γειτονικές πόλεις Α, Β απέχουν μεταξύ τους 25Κm. Μια πολυεθνική εταιρεία σκέφτεται να ανοίξει πολυκατάστημα στη γύρω περιοχή σε μια θέση Γ. Θέλει όμως το πολυκατάστημα να είναι κοντύτερα προς την πόλη Α , αλλά να απέχει από αυτήν μόλις 4Km λιγότερο από ότι από την Β. Κι αυτό αν κάποιος έρθει από την Β στο πολυκατάστημα να μην χρειαστεί παρά μόνο 4Km περισσότερο από αυτόν που έρχεται από την Α. Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις κατασκευής;
- Ας δούμε αναλυτικά στοιχεία στον παρακάτω σύνδεσμο για αυτά τα προτεινόμενα ρεαλιστικά προβλήματα. Περιέχονται στις σελίδες 2 - 6 της εργασίας μου "Sketchpad και γεωμετρία της πραγματικότητας" που παρουσιάστηκε στην Μαθηματική Εβδομάδα της Ε.Μ.Ε στις 31 Μαρτίου 2013
- Τέλος ας δούμε τα μικροπειράματα σε λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας που διαπραγματεύονται τα συγκεκριμένα ρεαλιστικά προβλήματα:
Το πολυκατάστημα ( Πρόβλημα στην έλλειψη) ( Geogebra)
Πρόβλημα πολυκαταστήματος στον κύκλο ( Sketchpad)
10. Διαθεματικές και πειραματικές δράσεις στα μαθηματικά
Η παρακάτω εργασία παρουσιάστηκε στην ημερίδα της Σχολικής Συμβούλου κ. Πάλλα Μαρίνας με τίτλο : "Καλές πρακτικές στα μαθηματικά" στις 8 Μαρτίου 2017
ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ
