Πειράματα με χειραπτικά αντικείμενα

 ΧΡΗΣΗ ΚΑΡΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Η παρακάτω δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε στην αίθουσα διδασκαλίας για την εισαγωγή στα βήματα επίλυσης εξισώσεων α΄βαθμού στην άλγεβρα β΄ γυμνασίου. Πρόκειται για χρήση χειραπτικών αντικειμένων και συγκεκριμένα καρτών που κολλιούνται με ζιλοτέιπ στον πίνακα. Επιμέρους στόχος η καλύτερη κατανόηση του χωρισμού γνωστών από αγνώστους. Ένα βήμα που συχνά οι μαθητές κάνουν συχνά λάθη στα πρόσημα κατά την μεταφορά των όρων από το ένα μέλος της εξίσωσης στο άλλο. Τα υλικά που χρησιμοποιήθηκαν ήταν:

1. Κάρτες

2, Ψαλίδι

3. Ζιλοτέιπ

Πορεία διδασκαλίας

 Για τη διαδικασία χωρισμού γνωστών από αγνώστων μπορούμε χρησιμοποιήσαμε λοιπόν  κάρτες που αναγράφουν τους όρους της εξίσωσης. Οι κάρτες κολλήθκαν στην σειρά στον πίνακα με σιλοτέιπ. Ακόμη θα μπορούσαν να υπάρχουν μπροστά στους μαθητές ώστε να τις διαχειρίζονται οι μαθητές ομαδοσυνεργατικά. Εδώ επιλέξαμε για λόγους συντομίας της διδακτικής διαδικασίας την επίδειξη απόν τον διδάσκοντα.Οι κάρτες με τα πρόσημα είναι διπλής όψης, Στην μια μεριά δηλαδή περιέχουν το + και στην άλλη το - . Έτσι αν γίνει μεταφορά μιας κάρτας στο άλλο μέλος αναποδογυρίζουμε την κάρτα προσήμου για να αλλάξει το πρόσημο του όρου. Δόθηκε η ευκαιρία και στους μαθητές να κάνουν τις αντίστοιχες μεταφορές όρων και να αποκτήσουν προσωπική επαφή και ενασχόληση.

Διδακτικά οφέλη

Έτσι μπορεί να γίνει κινητικά με πραγματικά αντικείμενα επίδειξη μεταφοράς από το ένα μέλος στο άλλο. Πετυχαίνουμε επίσης καλύτερη εννοιολογική κατανόηση για το ποιοι όροι παραμένουν ακίνητοι και δεν αλλάζουν πρόσημο και ποιοι μετακινούνται και αλλάζουν. Οι μαθητές κατανοούν καλύτερα την μεταφορά των όρων και ποια πρόσημα παραμένουν τα ίδια και ποια αλλάζουν μέσα από χειραπτικά αντικείμενα και διαδικασίες παιχνιδιού που εδραιώνει τη γνώση.

                                

                                

                                

                                

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΑΝΙΧΕΥΣΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΤΙΣ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ

Η παρακάτω πειραματική δράση πραγματοποιήθηκε στις 12 και 15 Φεβρουαρίου 2018  σε διδακτικές ώρες της γεωμετρίας Α΄ Λυκείου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : " Άθροισμα των γωνιών τριγώνου". Συγκεκριμένα στόχευε σε μια επέκταση της διδακτικής ενότητας ώστε να μελετηθούν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες και να διαπιστωθεί ότι σε αυτές το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν ισούται με 2 ορθές , όπως στην ευκλείδεια. 

Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 2 διδακτικές ώρες στις 12 και 15 Φεβρουαρίου 2018.

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.

Πορεία δραστηριότητας: 

Στο πρώτο μάθημα συζητήθηκε το ζήτημα των μη ευκλείδειων γεωμετριών , της ελλειπτικής και της υπερβολικής που προέκυψαν από την ανεξαρτησία του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη.Επίσης συζητήσαμε για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου που είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές στην ελλειπτική γεωμετρία , μικρότερο από δύο ορθές στην υπερβολική και ίσο στην ευκλείδεια γεωμετρία. Η συγκεκριμένη πειραματική δράση που πραγματοποιήθηκε στην δεύτερη διδακτική ώρα  έρχεται να επιβεβαιώσει πειραματικά ότι αυτό το συμπέρασμα των μη ευκλείδειων γεωμετριών δεν είναι απολύτως εξωπραγματικό και αντίθετο από την εποπτική μας διαίσθηση , αν κι έτσι φαίνεται σε πρώτη ανάγνωση. Το πρώτο συμπέρασμα μπορεί να επαληθευτεί στην περίπτωση που το επίπεδο μας θεωρηθεί η κοίλη επιφάνεια μιας σφαίρας και το δεύτερο αν το επίπεδο θεωρηθεί η επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς. Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:

1. Μια μπάλα μπάσκετ

2. χαρτί , ψαλίδι , μολύβι

3. ζιλοτέιπ

4. μοιρογνωμόνιο

Αρχικά κόψαμε πάνω σε μια κόλλα Α4 τρεις ισομήκεις λωρίδες χαρτιού οι οποίες προσομοιώνουν στο ευκλείδειο επίπεδο τις ευθείες γραμμές. Πάνω στο "κοίλο" επίπεδο της ελλειπτικής γεωμετρίας (π.χ επιφάνεια μιας σφαίρας) οι ευθείες μετασχηματίζονται σε καμπυλωτές γραμμές. Αυτό φαίνεται αν κολλήσουμε τις λωρίδες πάνω στην κοίλη επιφάνεια μιας μπάλας μπάσκετ (σφαίρας). Στη συνέχεια φροντίζουμε να τις κολλήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να  σχηματίζουν τρίγωνο (σφαιρικό τρίγωνο). 

                                                  

                                           

                                                   

                                                  

Κόψαμε περιμετρικά το περίγραμμα ενός μοιρογνωμονίου από μια φωτοτυπία του. Με τη βοήθεια αυτού του "εύκαμπτου" μοιρογνωμονίου μετρήσαμε τις γωνίες του τριγώνου και τις βρήκαμε ίσες αντίστοιχα με 80 , 70 , 70 μοίρες. Το άθροισμα τους λοιπόν ισούται με 220 μοίρες , είναι δηλαδή μεγαλύτερο από δύο ορθές. Στην ελλειπτική αυτή γεωμετρία του Ρίμαν στηρίχτηκε η γενική θεωρία σχετικότητας του Αϊστάιν καθώς η γη καμπυλώνει το χωροχρόνο και το σύμπαν υπακούει σε αυτήν την γεωμετρία.

                                                  

                                                  

                                                 

                                                  

Διδακτικά οφέλη : Υπάρχουν απόψεις ότι πρέπει στο ελληνικό σχολείο να διδάσκονται και οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Η συγκεκριμένη πειραματική δράση είναι ευκαιρία να συζητηθεί η επιστημολογική αναγκαιότητα εισαγωγής της ελλειπτικής γεωμετρίας από τον Ρίμαν και της υπερβολικής από τον Γκάους αρχικά και τους Μπολιάι και Λομπατσέφσκι στη συνέχεια. Μελετήθηκαν οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη μέχρι την τελική απόδειξη της ανεξαρτησίας του. Είδαμε την αντικατάσταση του αιτήματος αυτού από τα αντίστοιχα στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Συζητήσαμε τις επιστημολογικές μεταμαθηματικές έννοιες της ανεξαρτησίας και μη αντιφατικότητας ενός τυπικού αξιωματικού συστήματος. Κυριότατα όμως ασχοληθήκαμε με την πειραματική επιβεβαίωση του αθροίσματος γωνιών τριγώνου στην ελλειπτική και υπερβολική γεωμετρία. Οι μαθητές αντιλήφθηκαν ότι τα συμπεράσματα τους δεν είναι απολύτως έξω από την εμπειρική πραγματικότητα αλλά βρίσκουν εφαρμογή σε διαφορετικά είδη επιπέδων. Συζητήσαμε έτσι την άποψη του Αlain Babiou , Γάλλου θεατρικού συγγραφέα , μαθηματικού και ενός από τους κορυφαίους φιλοσόφους στις μέρες μας : "Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη του είναι ή όπως στην περίπτωση των μη ευκλείδειων γεωμετριών η επιστήμη των δυνατών μορφών του είναι".  Συζητήθηκε επίσης η αξιοποίηση της ελλειπτικής γεωμετρίας στην γήινη σφαίρα και γενικότερα στη θεωρία σχετικότητας  στην οποία βρίσκει εφαρμογή.

ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΒΥΘΙΣΜΕΝΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΚΑΛΑΜΑΚΙ ΜΕ ΤΗ      ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΘΑΛΗ.

Η παρακάτω πειραματική δρατηριότητα  πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 26 Ιανουαρίου2018.  Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : "Το θεώρημα του Θαλή".

Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα στις 26 Ιανουαρίου 2018.

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.

Πορεία δραστηριότητας: Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:

1. Ένα πλαστικό διαφανές ποτήρι

2. Ένα καλαμάκι

3. Ένας χάρακας

4. Ένα μπουκάλι με νερό.
5. Χαρτί με μολύβι.

                               

                               

Αρχικά ζητήθηκε από τους μαθητές να ρίξουν νερό στο ποτήρι μέχρι ένα ορισμένο ύψος όχι όμως να το γεμίσουν μέχρι πάνω. Στη συνέχεια βύθισαν το καλαμάκι μέσα στο ποτήρι , ώστε το ένα άκρο του να πατά στον πυθμένα του ποτηριού και το άλλο να φτάνει στη απέναντι άκρη του. Το ζητούμενο ήταν να υπολογίσουν το μήκος από το καλαμάκι που είναι βυθισμένο στο νερό. Δεν δόθηκε φύλλο εργασίας ώστε να μην καθοδηγούνται οι μαθητές στην διαδικασία εύρεσης του αποτελέσματος. Γνώριζαν βέβαια ότι πιθανόν θα τους βοηθήσει το θεώρημα του Θαλή το οποίο διδάχθηκαν στην προηγούμενη διδακτική ώρα. Επίσης δεν ήταν καθορισμένα τα δεδομένα του προβλήματος εφόσον έπρεπε εκείνοι να καταστρώσουν το σχέδιο επίλυσης και φυσικά να επιλέξουν τα δεδομένα που τους χρειαζόταν να μετρήσουν. Το αρχικό ζήτημα λοιπόν που τέθηκε προς διαπραγμάτευση στους μαθητές ήταν να εντοπίσουν τα απαιτούμενα δεδομένα. Αυτά ήταν το ύψος του ποτηριού , το ύψος της στάθμης του νερού και το συνολικό μήκος από το καλαμάκι. Έτσι το πρόβλημα μετατράπηκε σε "ανοικτό πρόβλημα χωρίς επαρκή δεδομένα". 

                                

                                

Η τελική λύση γινόταν με εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή μια και η βάση του ποτηριού είναι παράλληλη με τη στάθμη του νερού. Έτσι :

ύψος της στάθμης του νερού / ύψος ποτηριού = 

βυθισμένο τμήμα από το καλαμάκι / συνολικό μήκος από το καλαμάκι

                                         

                           

Στο τέλος της δράσης συζητήθηκε η λύση που έδωσαν οι ομάδες με τη καθοδήγηση του διδάσκοντα. Βλέπετε παρακάτω μερικές από τις σημειώσεις των μαθητών στο χαρτί τους κατά την διαδικασία επίλυσης και τέλος την λύση μιας από τις ομάδες στον πίνακα.

                            

                             

                             

                            

Στο τέλος μελετήσαμε το παρακάτω  αρχείο Geogebra που προσομοίωνε στο περιβάλλον του προγράμματος το εν λόγω πρόβλημα.

                          

Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές ασχολήθηκαν με ένα ανοικτό πρόβλημα που απαιτούσε ευρηματικότητα τόσο στην επιλογή των δεδομένων που έπρεπε να μετρηθούν όσο και στο σχέδιο επίλυσης του προβλήματος. Αποτελούσε επίσης ένα πρόβλημα που ξέφευγε από τα πλαίσια των ψυχρών μαθηματικών  προβλημάτων του σχολικού βιβλίου , γιατί χρησιμοποιούσε χειραπτικά αντικείμενα της καθημερινής πραγματικότητας. Αναδείκνυε επίσης την χρηστικότητα των μαθηματικών μεθόδων στην επίλυση προβλημάτων πραγματικής κατάστασης. Συνδέθηκαν λοιπόν τα μαθηματικά με την πραγματικότητα και αναδείχθηκε η ελκυστικότητα των μαθηματικών διεργασιών. Διαφαίνεται επίσης ότι οι μαθηματικές διεργασίες αποτελούν συχνά έμμεσες μεθόδους υπολογισμού μηκών που η άμεση μέτρησή τους δεν είναι εφικτή λόγω φυσικού εμποδίου.

Μη αναμενόμενες πορείες: Επειδή αφέθηκε στους μαθητές ανοιχτό το θέμα των δεδομένων που θα έπρεπε να μετρηθούν για την επίλυση του προβλήματος , βρέθηκαν ομάδες που εκτός από το μήκος του καλαμακιού και το ύψος του ποτηριού μέτρησαν και τις διαμέτρους των βάσεων του ποτηριού. Επισημαίνεται ότι το πλαστικό διαφανές ποτήρι είχε σχήμα κόλουρου κώνου κι άρα ορισμένοι μαθητές μέτρησαν τις διαμέτρους των δύο κύκλων- βάσεων. Στην συνέχεια βέβαια διαπίστωσαν ότι αυτές οι μετρήσεις δεν ήταν χρήσιμες για την επίλυση του προβλήματος. Υπήρξε επίσης μαθητής που ζήτησε μαρκαδόρο να σημειώσει πάνω στο καλαμάκι μέχρι ποιο σημείο είναι βυθισμένο μέσα στο νερό. Έτσι μόλις το έβγαζε θα μπορούσε να μετρήσει το μήκος του βυθισμένου τμήματός  του. Συζητήθηκε ότι κάτι τέτοιο αντιβαίνει στους κανόνες επίλυσης του προβλήματος γιατί το βυθισμένο τμήμα θεωρείται μη προσπελάσιμο προς μέτρηση. Θα μπορούσε να ήταν βυθισμένο τμήμα το έδαφος ή σε ένα ποτάμι ώστε λόγω φυσικού εμποδίου δεν θεωρείται πρακτικά δυνατή η άμεση μέτρησή του. Γι΄αυτό άλλωστε καταφεύγουμε σε αφηρημένες έμμεσες μεθόδους υπολογισμού τους.

" ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ"

                                 α΄ γυμνασίου και Α΄ λυκείου

Η παρακάτω δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε στην διδακτική ώρα της γεωμετρίας Α΄ Λυκείου στην ενότητα για το άθροισμα γωνιών τριγώνου στις 21 Φεβρουαρίου 2017. Αρχικά έγινε διαδραστική απόδειξη ( με βάση το Geogebra) της σχέσης : Α + Β +  Γ = 2 ορθές. Χρησιμοποιήθηκε το αρχείο από το υλικό μου :  Άθροισμα γωνιών τριγώνου . Μετά δουλέψαμε στο επόμενο αρχείο Geogebra υπολογίζοντας τη γωνία Α τριγώνου ΑΒΓ όταν δίνονται τα μέτρα των δύο άλλων γωνιών Β και Γ : "Βρες τη γωνία Α"
Στη συνέχεια προβήκαμε σε μια πειραματική δράση με χρήση χειραπτικών υλικών.Στόχος ήταν να διαπιστώσουν οι μαθητές άμεσα και εποπτικά ότι ανεξαρτήτως τριγώνου πάντα οι γωνίες του συμπληρώνουν μια ευθεία γωνία.Έχουν δηλαδή  άθροισμα ίσο με 180 μοίρες.

Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 1 διδακτική ώρα.
Πορεία δραστηριότητας : Τα υλικά που χρησιμοποιήσαμε για την πειραματική δράση ήταν :
1. Κόλλες Α4
2. Μαρκαδόρος
3. Ψαλίδι
4. Ζιλοτέιπ
5. Χάρακας

Σχεδιάσαμε  με μαρκαδόρο σε μια κόλλα Α4 ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Κολλήσαμε με ζιλοτέιπ το τρίγωνο πάνω στον πίνακα και δίπλα κατασκευάσαμε  μια ευθεία γωνία. Φωτοτυπήσαμε στη συνέχεια το τρίγωνο ΑΒΓ. Κόψαμε τις γωνίες Α, Β , Γ του τριγώνου της φωτοτυπίας περιμετρικά γύρω γύρω όπως φαίνεται στις παρακάτω φωτογραφίες. Τις κολλήσαμε πάνω στον πίνακα δίπλα στο τρίγωνο.

                                 

                                 

                                 

                                         

Στη συνέχεια μεταφέραμε τις "κομμένες" γωνίες πάνω στην ευθεία γωνία κατά τρόπο ώστε να γίνουν διαδοχικές. Παρατηρήσαμε ότι οι τρεις γωνίες συμπληρώνουν όλες μαζί την ευθεία γωνία που σημαίνει ότι το άθροισμα τους ισούται με μια ευθεία γωνία , δηλαδή 2 ορθές ή 180 μοίρες.

                       

                                   

                                    

                             

                                   

Διδακτικά οφέλη  : Διαπιστώσαμε πειραματικά και εποπτικά ότι οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου συμπληρώνουν πάντα μια ευθεία γωνία και άρα το άθροισμα τους ισούται με 180 μοίρες. Η δράση αυτή μπορεί να ενταχθεί στο εισαγωγικό μάθημα για το άθροισμα γωνιών τριγώνου τόσο στην α γυμνασίου όσο και στην Α λυκείου. Το πλεονέκτημα είναι ότι με σωστή ετοιμασία δεν απαιτεί πολύ διδακτικό χρόνο και μπορεί να ενταχθεί ομαλά στην διδασκαλία της διδακτικής ενότητας. 

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΔΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΕΤΡΟΥ ΤΟΥ. (1)
                                                β΄γυμνασίου

Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στις 6 Απριλίου 2016. Αφορούσε στην πειραματική ανακάλυψη ότι "ο λόγος του μήκους ενός κύκλου δια της διαμέτρου του ισούται περίπου με 3,14" στην παράγραφο που διδασκόταν το μήκος του κύκλου.

Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τετάρτη 6 Απριλίου 2016

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.

Πορεία δραστηριότητας:.Σε κάθε ομάδα δόθηκε από ένα αντικείμενο κυκλικού σχήματος. Επιλέχθηκαν ένα CD ηλεκτρονικού υπολογιστή , ένα δίευρο κι ένα πλαστικό καπάκι από μπουκαλάκι νερού. Τα υλικά της πειραματικής δράσης ήταν τα παρακάτω :

1. CD ηλεκτρονικού υπολογιστή.

2. Δίευρο.
3. Πλαστικό καπάκι από μπουκαλάκι νερού.
4. Κίτρινο σχοινάκι.(Νήμα)
5. Γνώμονας
6. Μολύβι.
7.  Χαρτί
8. Αριθμομηχανή

Αρχικά έπρεπε να μετρήσουμε το μήκος κάθε κυκλικού αντικειμένου. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήσαμε το κίτρινο σχοινάκι που το τυλίξαμε περιμετρικά γύρω από το κυκλικό αντικείμενο. Μετά ανοίγοντας το σχοινάκι ώστε να τεντωθεί , μετρήσαμε το μήκος του με τον χάρακα , το οποίο αντιστοιχεί στο μήκος του κύκλου. Καταγράψαμε την τιμή αυτή του μήκους.

                                      

                                     

                                            

Στην συνέχεια έπρεπε να μετρήσουμε την διάμετρο του κύκλου. Διαπιστώσαμε ότι δεν γνωρίζουμε το κέντρο του. Αποφασίσαμε να το βρούμε! Για το σκοπό αυτό χαράξαμε δυο χορδές και σχεδιάσαμε τις μεσοκαθέτους τους. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων μας έδωσε το κέντρο του κύκλου. Μετρήσαμε την απόσταση από το κέντρο μέχρι την περιφέρεια και βρήκαμε την ακτίνα. Το διπλάσιο της ισούται με την ζητούμενη διάμετρο.

                                            

                                 

                                     

                            

                        

Στο τέλος πήρε σειρά το υπολογιστικό μέρος της δραστηριότητας. Με την αριθμομηχανή υπολογίσαμε το πηλίκο του μήκους δια την διάμετρο (L/δ). Παρατηρήσαμε ότι είναι 3 και κάτι και βρίσκεται κοντά στο 3,14.

Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές μετατράπηκαν σε μικρούς ερευνητές που ανακάλυψαν τη νέα γνώση με πειραματικές δράσεις που αφορούσαν πραγματικά αντικείμενα.

Αδυναμίες : Δεν επετεύχθη ο στόχος να υπολογιστεί το πηλίκο L/ δ ακριβώς 3,14. Οι μαθητές προσέγγισαν αυτή την τιμή και βρήκαν αποτελέσματα 3, 25  3, 27 και 3, 19. Αποδόθηκαν αυτές οι αποκλίσεις στα σφάλματα μέτρησης. Και μόνο βέβαια που τα πηλίκα ήταν 3 και κάτι σε τρία διαφορετικά κυκλικά αντικείμενα βοήθησε στην κατανόηση του εγχειρήματος του Αρχιμήδη και στην κατανόηση του τύπου του μήκους του κύκλου.

 1  Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΔΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΕΤΡΟΥ ΤΟΥ. (2)
                                                β΄γυμνασίου

Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στις 7 Απριλίου 2016. Αφορούσε στην πειραματική ανακάλυψη ότι "ο λόγος του μήκους ενός κύκλου δια της διαμέτρου του ισούται περίπου με 3,14" στην παράγραφο που διδασκόταν το μήκος του κύκλου. Eίναι ουσιαστικά μια δεύτερη δραστηριότητα στην σχέση μήκoυς κύκλου - διαμέτρου σε συνέχεια της πρώτης που αναλύεται πρωτύτερα.

Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Πέμπτη 7 Απριλίου 2016

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.

Πορεία δραστηριότητας:.Σε κάθε ομάδα δόθηκε από ένα αντικείμενο κυκλικού σχήματος. Αυτή τη φορά ήταν ένα ζιλοτέιπ.

1. Ζιλοτέιπ

2. Γνώμονας
3. Μολύβι.
4.  Χαρτί Μιλιμιτρέ

Αρχικά τοποθετήσαμε το ζιλοτέιπ πάνω σε ένα φύλλο χαρτί και σχεδιάσαμε περιμετρικά τον κύκλο του. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία που κάναμε στην προηγούμενη δραστηριότητα εντοπίσαμε το κέντρο του κύκλου. Χαράξαμε δηλαδή πάνω στο χαρτί δύο χορδές του κύκλου και τις μεσοκαθέτους τους. Το σημείο τομής των μεσοκαθέτων είναι το κέντρο. Μετρήσαμε την ακτίνα και υπολογίσαμε την διάμετρο από τον τύπο δ = 2ρ. Βρήκαμε δ = 5,6cm.

                        

                              

                              

                               

                                

Στη συνέχεια πήραμε το χαρτί μιλιμιτρέ. Πάνω του χαράξαμε ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο το χωρίσαμε σε τέσσερα μέρη ίσα με 5,6cm το καθένα(όση η διάμετρος).Κατασκευάσαμε δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο έχει διαιρεθεί σε 4 ίσα μέρη ίσα το καθένα με το μήκος της διαμέτρου δ.

                         

Ένας μαθητής τοποθέτησε το ζιλοτέιπ κατακόρυφα πάνω στην αρχή του ευθύγραμμου τμήματος. Το κυλούσε πάνω στο τμήμα αυτό μέχρι να κάνει μια πλήρη περιστροφή.Γ ια να το πετύχουμε αυτό χαράξαμε ένα σημαδάκι με στυλό σε κάποιο σημείο του ζιλοτέιπ. Τοποθετήσαμε έτσι το ζιλοτέιπ ώστε το σημαδάκι να είναι στο κατώτατο σημείο και να εφάπτεται στην αρχή του ευθύγραμμου τμήματος πάνω στο χαρτί. Ο μαθητής περιέστρεφε προσεκτικά το ζιλοτέιπ και σταμάτησε στη θέση όπου το σημαδάκι ξαναβρέθηκε στο κατώτατο σημείο και ακουμπούσε και πάλι ακριβώς πάνω στο χαρτί. Τότε το κυκλικό αντικείμενο ολοκλήρωσε μια πλήρη περιστροφή. Στη θέση αυτή - όπου ολοκληρώθηκε η περιστροφή -  ένας άλλος μαθητής  αποτύπωσε ένα σημαδάκι πάνω στο μιλιμιτρέ. Έτσι έχουμε παραστήσει οριζόντια πάνω σε μια ευθεία γραμμή απόσταση ίση με το μήκος του κύκλου.

                                     

                                     

                                    

                                      

Παρατηρήσαμε τελικά ότι το μήκος του κύκλου είναι τρεις φορές και κάτι της διαμέτρου. Με το χαρτί μιλιμιτρέ είχαμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε αυτό το κάτι και να διαπιστώσουμε ότι ήταν περίπου τα 14/100 της διαμέτρου. Άρα  : L = 3,14 . δ

               

YΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΧΑΡΤΟΚΟΠΤΙΚΗ

                                               β΄ γυμνασίου

Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών β΄ γυμνασίου στις 12 Απριλίου 2016. Αφορούσε στην πειραματική ανακάλυψη του τύπου του εμβαδού κύκλου με χειραπτικά αντικείμενα και χαρτοκοπτική.

Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τρίτη 12 Απριλίου 2016

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.

Πορεία δραστηριότητας:.Τα υλικά που δόθηκαν αρχικά στους μαθητές κάθε ομάδας ήταν :

1.  Ορθογώνιο Χαρτόνι σε μέγεθος Α4
2. Ψαλίδι

2. Γνώμονας

3. Μολύβι.

4. Πράσινος και κόκκινος μαρκαδόρος

5. Ζιλοτέιπ.

Αρχικά οι μαθητές σχεδίασαν στο χαρτόνι έναν κύκλο. στη συνέχεια έφεραν δύο κάθετες διαμέτρους του. Χώρισαν το κάθε τεταρτοκύκλιο σε 4 ίσα μέρη και δημιούργησαν τις ακτίνες που καταλήγουν σε αυτά τα σημεία. Έτσι ο κύκλος χωρίστηκε σε 16 ίσους κυκλικούς τομείς. Στην συνέχεια χρωμάτισαν το ένα ημικύκλιο και τις ακτίνες του με κόκκινο χρώμα και το άλλο ημικύκλιο με τις ακτίνες του με πράσινο χρώμα όπως φαίνεται σε παρακάτω εικόνα.

                             

                                         

                                  

                                     

                             

Ήρθε η ώρα της χαρτοκοπτικής. Με το ψαλίδι έκοψαν περιμετρικά τους 16 κυκλικούς τομείς και τους χώρισαν σε δύο κατηγορίες (κόκκινους και πράσινους) σαν αντιμαχόμενους παίκτες ΠΑΝΑΘΗΝΑΪΚΟΥ - ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΥ.

                            

                                

                           

Κολλήσαμε με ζιλοτέιπ στον πίνακα τους κυκλικούς τομείς όπως φαίνεται παρακάτω. Οι ομάδες μιμήθηκαν το ίδιο πάνω στο θρανίο τους κάνοντας το ίδιο με τους δικούς τους κυκλικούς τομείς. Παρατηρήσαμε έτσι ότι το εμβαδόν του κύκλου προσομοιώνεται με το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου μήκους πρ και πλάτους ρ. Oι παρακάτω φωτογραφίες είναι από τον πίνακα της σχολικής τάξης στο τέλος της δραστηριότητας οπότε κι έγινε η επικύρωση της γνώσης.

                            

                            

                                   

           ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ
                                             γ΄ γυμνασίου
 

Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 15 Νοεμβρίου 2016. Αφορούσε σε εισαγωγική δραστηριότητα του τετραγώνου αθροίσματος. Στόχος ήταν η εννοιολογική κατανόηση της ταυτότητας μέσα από χειραπτικά αντικείμενα κατασκευής παζλ.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Τρίτη 15 Νοεμβρίου 2016.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές ήταν χωρισμένοι σε ομάδες των 5 ατόμων.
Πορεία της δραστηριότητας : Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά :

1. Χαρτόνι
2. Στυλό
3. Ψαλίδι
4. Μαρκαρόροι (μπλε , κόκκινος , πράσινος).
5. Χάρακας

Οι μαθητές σχεδίασαν πάνω στο χαρτόνι ένα τετράγωνο (Α) πλευράς 2cm , ένα τετράγωνο (Β) πλευράς 3cm και δύο ορθογώνια (Γ) διαστάσεων 2x3. Στη συνέχεια χρωμάτισαν με μπλε χρώμα το τετράγωνο Α , με πράσινο το Β και με κόκκινο καθένα από τα ορθογώνια Γ.

                                           

                                          

                                          

                                         

                                        

                                        

Σύμφωνα με τις οδηγίες του φύλλου εργασίας που τους μοιράστηκε ένωσαν κατάλληλα τα σχήματα που κατασκεύασαν με παζλ ώστε να σχηματιστεί τετράγωνο πλευράς 5cm. Τα σχήματα μιας ομάδας κολλήθηκαν στον πίνακα κι ένας μαθητής έκανε την αναπαράστασης της κατασκευής του ζητούμενου τετραγώνου στον πίνακα,

                                         

                     

                                        

Στην συνέχεια απαντώντας στα ερωτήματα του φύλλου εργασίας οδηγηθήκαμε στην ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. 

                     

Διδακτικά οφέλη : Πετύχαμε την εννοιολογική κατανόηση της ταυτότητας του τετραγώνου αθροίσματος με χρήση γεωμετρικού παζλ. Αιτιολογήθηκε εποπτικά με χρήση χειραπτικών αντικειμένων γιατί στην ταυτότητα αυτή περιέχεται ο όρος του διπλασίου γινομένου των α, β. Ουσιαστικά όρος αυτός ισούται με τα εμβαδά των δύο κόκκινων ορθογωνίων Γ.

    ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

                                      γ΄ γυμνασίου

Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 16 Νοεμβρίου 2016. Αφορούσε στην διδασκαλία της τριγωνικής ανισότητας. Στόχος ήταν να διαπιστώσουν οι μαθητές ότι για να σχηματιστεί τρίγωνο πρέπει το άθροισμα των μηκών δύο πλευρών του να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη πλευρά. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκαν χειραπτικά αντικείμενα ( καλαμάκια).

Χρόνος υλοποίησης της δραστηριότητας : Τετάρτη 16 Νοεμβρίου 2016.

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης : Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.

Πορεία διδασκαλίας : Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά :

 1. 4 καλαμάκια διαφόρων χρωμάτων.

 2. Ψαλίδι.

 3. Ζιλοτέιπ.

Αρχικά οι μαθητές κράτησαν ένα ολόκληρο καλαμάκι  και έκοψαν άλλα δύο μικρότερα κομμάτια από ένα δεύτερο/ τα δύο αυτά μικρά κομμάτια δεν συμπλήρωναν το μήκος ενός ολόκληρου. Τους ζητήθηκε να σχηματίσουν τρίγωνα με πλευρές αυτά τα τμήματα. Διαπιστώσαμε ότι αυτό ήταν αδύνατο γιατί το άθροισμα των δύο ήταν μικρότερο από το τρίτο και μεγαλύτερο.

                                       

                                       

                                      

                                      

                                       

                                       

Στη συνέχεια επαναλάβαμε τη διαδικασία με τρία κομμάτια από καλαμάκια τέτοια ώστε το άθροισμα των μηκών των δύο να ξεπερνάει το μήκος του τρίτου. Οι μαθητές τότε διαπίστωσαν ότι τα κομμάτια αυτά σχηματίζουν τρίγωνο καθώς πληρούν τις προϋποθέσεις της τριγωνικής ανισότητας.

                                     

                                     

                                     

Στο τέλος τα συμπεράσματα παρουσιάστηκαν σε όλη την τάξη με την διατύπωση της τριγωνικής ανισότητας και αφού κολλήθηκαν στον πίνακα με ζιλοτέιπ τα κομμάτια από τα καλαμάκια για την  εποπτική επικύρωσή της

                        

                     

                     

Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές διαπίστωσαν με χρήση χειραπτικών αντικειμένων ότι για να σχηματιστεί τρίγωνο με πλευρές δοθέντα τμήματα πρέπει το άθροισμα των δύο να είναι μεγαλύτερο από το τρίτο. Έτσι επαλήθευσαν πειραματικά την τριγωνική ανισότητα.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΑ ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

γ΄ γυμνασίου

Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματικών γ΄ γυμνασίου στις 30 Ιανουαρίου  2016. Αφορούσε στην διδασκαλία των ομοίων τριγώνων και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται " πειραματικές δράσεις με χειραπτικά αντικείμενα". Στόχος ήταν να κατανοήσουν οι μαθητές ότι τα όμοια τρίγωνα έχουν ίσες μία προς μία τις γωνίες τους και τις πλευρές  τους ανάλογες. Οι μαθητές με απλά υλικά ( χαρτί μολύβι , χάρακας , μοιρογνωμόνιο , υπολογιστή τσέπης) και χρησιμοποιώντας το φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολείου προέβησαν σε κατάλληλες μετρήσεις και ανακάλυψαν τις ιδιότητες των ομοίων σχημάτων.

Ημερομηνία παραγματοποίησης : 30 - 1 - 2016

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης : Η τάξη χωρίστηκε σε ομάδες των 5 ατόμων. Δόθηκε σε κάθε ομάδα μία φωτοτυπία, στο οποίο υπήρχε σχεδιασμένο ένα τρίγωνο ΑΒΓ , ένα μοιρογνωμόνιο κι ένας χάρακας.

Πορεία δραστηριότητας : Ένας μαθητής από κάθε ομάδα πήγε στο φωτοτυπικό του σχολείου μας κι έφερε μια επιπλέον  φωτοτυπία του τριγώνου με σμίκρυνση 71%. Ονομάσαμε το νέο τρίγωνο ΔΕΖ.

Ζητήθηκε από τους μαθητές να υπολογίσουν :

1. Τις γωνίες Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ.
2. Τις γωνίες Δ . Ε , Ζ του τριγώνου ΔΕΖ.
3. Τις πλευρές ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ
4. Τις πλευρές ΔΕ , ΔΖ , ΕΖ του τριγώνου ΔΕΖ
5. Τους λόγους ΑΒ/ΔΕ , ΑΓ/ΔΖ , ΒΓ/ΕΖ

Έπρεπε μετά από τις μετρήσεις να βγάλουν το συμπέρασμά τους και να συζητήσουμε μέσα στην τάξη τα αποτελέσματα όλων των ομάδων.
Συμπεράσματα : α.  Όλοι οι μαθητές οδηγήθηκαν εύκολα στο συμπέρασμα ότι τα τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες.
β. Στους λόγους των πλευρών παρατηρήθηκαν σφάλματα μέτρησης ώστε οι λόγοι των πλευρών να φαίνεται ότι έχουν κοντινές αλλά όχι ίσες τιμές. Με μια προσεκτικότερη μέτρηση με το χάρακα οι δύο ομάδες οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι οι λόγοι είναι ίσοι ενώ η τρίτη ομάδα βρήκε τους δύο λόγους ίσους και τον τρίτο με μια μικρή απόκλιση ενός χιλιοστού.
γ. Έγινε σύνδεση του σταθερού λόγου των πλευρών με την σμίκρυνση 71% = 71/100 = 0,71. Παρακάτω θα δείτε φωτογραφικό υλικό από την εργασία των μαθητών.

Διδακτικά οφέλη : Οι μαθητές ανακάλυψαν μόνοι τους τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων προβαίνοντας σε μετρήσεις και υπολογισμούς χωρίς να επιβληθεί η γνώση από την αυθεντία του διδάσκοντα. Κατανόησαν έτσι καλύτερα τις ιδιότητες αυτές γιατί ήταν προϊόν δικής τους δραστηριοποίησης.

Αδυναμίες : Παρουσιάστηκε δυσκολία στην επιβεβαίωση της ισότητας των λόγων των ομοίων τριγώνων που οφειλόταν σε σφάλματα μέτρησης με τα γεωμετρικά όργανα. Με προσεκτικότερες όμως μετρήσεις επιτυγχάθηκε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.

                                            

                                        

                              

                               ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΜΗ ΚΥΡΤΗ ΓΩΝΙΑ

                                                α΄ γυμνασίου

Χωρίστηκε η α τάξη γυμνασίου σε ομάδες των 4 ατόμων. Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά:

1. Κόλλα χαρτί Α4

2. Μαρκαδόροι

3. Ψαλίδι

Σχηματίζουμε στην κόλλα Α4 ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο , το οποίο εποπτικά παριστάνει το επίπεδο δηλαδή την πλήρη γωνία. Εσωτερικά του ορθογωνίου θεωρούμε ένα σημείο Ο και σχεδιάζουμε δύο ημιευθείες Οχ και Oy, Χρωματίζουμε την κυρτή γωνία χΟy με πράσινο χρώμα και την μη κυρτή με κίτρινο. Κόψαμε την κάθε γωνία ώστε να έχουμε σχηματίσει και εποπτικά καταδείξει το είδος της κάθε γωνίας ( κυρτής και μη κυρτής). Κολλάμε τα δύο σχήματα στον πίνακα για καλύτερη παρουσίαση και κατανόηση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ

                                                 α΄ γυμνασίου

Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες 4 ατόμων. Σε κάθε ομάδα δίνονται τα υλικά:

1. Κόλλα χαρτί Α4

2. Μαρκαδόροι

Οι μαθητές σχεδιάζουν στην κόλλα Α4 σχήματα όπως σπιτάκια , ζώα , καράβια που απαρτίζονται από τετραγωνάκια βαμμένων με διαφορετικά χρώματα(Δείτε ενδεικτικά την παρακάτω εικόνα). Σκοπός της κάθε ομάδας να υπολογίσει το κλάσμα ή και το ποσοστό που αντιπροσωπεύει το κάθε χρώμα στην κάθε κατασκευή. πρόκειται σε μια βιωματική εισαγωγική δραστηριότητα στον ορισμό του κλάσματος ως μέρος του όλου ή ακόμη στον ορισμό του ποσοστού ως δεκαδικού κλάματος με παρονομαστή το 100.

                               ΧΡΗΣΗ ΧΕΙΡΑΠΤΙΚΟΥ ΠΑΖΛ ΣΤΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΕΜΒΔΩΝ

                                                                 β΄ γυμνασίου

Χωρίστηκε η β΄ τάξη γυμνασίου σε ομάδες των 4 ατόμων. Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά:

1. Κόλλα χαρτί Α4

2. Μαρκαδόροι

3. Ψαλίδι

Σχεδιάζουμε σε μια κόλλα Α4 ένα τρίγωνο και ένα τραπέζιο. Το χωρίζουμε σε δύο μέρη με τη χάραξη ενός βοηθητικού ευθύγραμμου τμήματος. Χρωματίζουμε κάθε μέρος με διαφορετικό χρώμα. Δείτε την παρακάτω φωτογραφία. Με το ψαλίδι κόβουμε περιμετρικά και ξεχωρίζουμε τα δύο αυτά μέρη του κάθε σχήματος. Με κατάλληλη μετακίνηση - τοποθέτηση σε άλλη θέση. Με τον τρόπο αυτό μετασχηματίζουμε το τρίγωνο σε παραλληλόγραμμο και σε ορθογώνιο και το τραπέζιο σε παραλληλόγραμμο. Κολλώντας τα σχήματα αυτά στον πίνακα αναζητούμε να αποδείξουμε τους τύπους εμβαδών του παραλληλογράμμου με δεδομένο τον τύπο του εμβαδού ορθογωνίου.

Αρχικά ας δούμε τους μετασχηματισμούς του τριγώνου σε παραλληλόγραμμο:

Στη συνέχεια μετασχηματίζουμε το τρίγωνο σε ορθογώνιο:

Τέλος το τραπέζιο σε παραλληλόγραμμο

ΧΡΗΣΗ ΧΕΙΡΑΠΤΙΚΟΥ ΠΑΖΛ ΣΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

                                                                 γ΄ γυμνασίου

Χωρίστηκε η Γ΄ τάξη γυμνασίου σε ομάδες των 4 ατόμων. Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω υλικά:

1. Κόλλα χαρτί Α4

2. Ξυλομπογιές

3. Ψαλίδι

Σε μια κόλλα Α4 σχεδιάζουμε δύο τετράγωνα πλευρών α , β αντίστοιχα , το ένα μέσα στο άλλο όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Χρωματίζουμε το μέρος που βρίσκεται ανάμεσα στα δύο τετράγωνα. Το εμβαδόν του ισούται με α^2 -β^2. Στη συνέχεια το χωρίζουμε σε δύο μέρη , τα οποία χρωματίζουμε με διαφορετικά χρώματα. Κόβουμε με το ψαλίδι τα δύο μέρη και με τη μέθοδο του παζλ σχηματίζουμε με ένα ορθογώνιο , ένα παραλληλόγραμμο κι ένα τραπέζιο.

Οι μαθητές καλούνται να αποδείξουν ότι καθένα από τα εμβαδά του ορθογωνίου , του παραλληλογράμμου και του τραπεζίου ισούται με (α + β) ( α - β). Με τον τρόπο αυτό επαληθεύεται γεωμετρικά η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων α^2 - β^2 = (α +β) (α-β)

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ - Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Χρειαζόμαστε απλά υλικά και συγκεκριμένα μια κόλλα χαρτί Α4 και ζιλοτέιπ. Θέλουμε να βοηθήσουμε τους μαθητές να κατανοήσουν τον τύπο του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου. Γνωρίζουμε ότι ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης επί το ύψος. Μάλιστα στην απόδειξη του τύπου φαίνεται ότι η παράπλευρη επιφάνεια μετασχηματίζεται σε ορθογώνιο με διαστάσεις ακριβώς την περίμετρο και το ύψος του κυλίνδρου. Μια καλή οπτικοποίηση για καλύτερη κατανόηση

αποτελεί η εξής διαδικασία. Παίρνουμε μια κόλλα φωτοτυπικού χαρτιού Α4. Την τυλίγουμε σε ρολό ώστε να φτιάξουμε κύλινδρο. Για την ακρίβεια πρόκειται για την παράπλευρη επιφάνειά του. Ξετυλίγοντας φαίνεται ότι η παράπλευρη επιφάνεια μετατρέπεται σε ορθογώνιο . Μάλιστα καταλαβαίνουμε ότι οι διαστάσεις του ορθογωνίου αντιστοιχούν στο μήκος του κύκλου και στο ύψος του κυλίνδρου. Τυλίγοντας και ξετυλίγοντας μερικές φορές οι μαθητές το κατανοούν.

               ΕΠΑΗΘΕΥΣΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΖΛ

                                                                  β΄ γυμνασίου

Οι μαθητές χωρίζονται σε ομάδες των 4 ατόμων. Σε μια κόλλα Α4 σχεδιάζουν το παρακάτω σχήμα που παριστάνει ένα ορθογώνιο τρίγωνο και τα τρία τετράγωνα με πλευρές το καθένα τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου. Σκοπός της δραστηριότητα είναι να επαληθεύσουν εποπτικά με χρήση γεωμετρικού παζλ το πυθαγόρειο θεώρημα. Να επαληθεύσουν δηλαδή ότι το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Χρησιμοποιώντας την τεχνική από το φύλλο εργασίας που του

Χρησιμοποιώντας την τεχνική από το φύλλο εργασίας που τους δόθηκε έκοψαν κι έβαψαν τα παρακάτω σχήματα που τοποθετώντας τα πάνω στα δύο τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών καλύπτουν συνολικά την επιφάνεια και των δυο τους. Στην συνέχεια με την τεχνική του γεωμετρικού παζλ διαπιστώνουν ότι τα σχήματα (κομμάτια παζλ) αυτά διαμερίζουν και καλύπτουν την επιφάνεια του τετραγώνου της υποτείνουσας. Διαπιστώνουν έτσι ότι το τετράγωνο τη; υποτείνουσας έχει εμβαδόν που ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. 

Διδακτικά οφέλη: Πρόκειται για τεχνική με χειραπτικά αντικείμενα που παρέχει διαισθητική και εποππτική επικύρωση στο πυθαγόρειο θεώρημα. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται καλύτερη εννοιολογική κατανόηση του θεωρήματος γιατί ανακαλύπτεται από τον ίδιο τον μαθητή και κατανοείται κκλύτερα λόγω της γεωμετρικής - κιναισθητικής δραστηριότητας.